За­ме­тим, что

Тогда имеем:

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из пер­вой серии: Их сумма равна

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из вто­рой серии: Их сумма равна

На про­ме­жут­ке [−223°; 333°] лежат сле­ду­ю­щие корни из тре­тьей серии: Их сумма равна

По­это­му сумма равна:

Ответ: 240.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу :

По­это­му имеем:

Ответ: 16.

За­ме­тим, что по­это­му синус от­ри­ца­те­лен. Далее имеем:

Тогда:

Ответ: −6.

Решим урав­не­ние:

Сде­ла­ем за­ме­ну: Тогда:

Пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­ме­ны, сле­до­ва­тель­но,

От­ме­тим, что Рас­смот­рим зна­че­ния x при раз­лич­ных зна­че­ни­ях n:

Таким об­ра­зом, на про­ме­жут­ке 4 корня.

Ответ: 4.

Пре­об­ра­зу­ем тан­генс:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой :

В свою оче­редь,

По­это­му:

До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на Тогда:

Так как имеем тогда

За­ме­тим, что в зна­ме­на­те­ле По­это­му Тогда:

Тогда, под­став­ляя в ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

Ответ: −9.

Решим урав­не­ние:

Среди ре­ше­ний, при­над­ле­жа­щих про­ме­жут­ку: 126°, 144°, 162°, 130°, 150°. Их сумма равна 712.

Ответ: 712.

Решим урав­не­ние:

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень до­сти­га­ет­ся при

Наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень до­сти­га­ет­ся при

Таким об­ра­зом, сумма кор­ней равна:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

A)  Вы­не­сем общий мно­жи­тель за скоб­ки и при­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство:

Б)  При­ме­ним фор­му­лу си­ну­са двой­но­го ар­гу­мен­та:

В)  При­ме­ним фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го ар­гу­мен­та:

Ответ: А6Б4ВЗ.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

На про­ме­жут­ке (−180°; 0°) наи­мень­ший ко­рень урав­не­ния −132°.

Ответ: −132°.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Пер­вый мно­жи­тель на ука­зан­ном про­ме­жут­ке об­ну­ля­ет­ся при x  =  0. Вто­рой же об­ну­ля­ет­ся если где k целое, то есть при усло­вии При по­лу­чим а при по­лу­чим

Ответ: 175.

Решая урав­не­ние, по­лу­ча­ем:

От­бе­рем корни пер­вой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку:

Таким об­ра­зом, корни пер­вой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку: −120°, −90°, −60°. От­бе­рем корни вто­рой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку:

Таким об­ра­зом, корни вто­рой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку: −135°, −99°, −63°. Сумма всех кор­ней урав­не­ния, при­над­ле­жа­щих про­ме­жут­ку (−150°; −55°), равна

Ответ: −567.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой си­ну­са двой­но­го угла:

Ответ: −2,5.

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке ко­си­нус в нуль не обо­ра­чи­ва­ет­ся. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой си­ну­са двой­но­го угла и раз­де­лим на ко­си­нус:

Ответ: − 38.